Strömungsmechanische Grundlagen

Technisch logische Überlegungen führen nicht immer zu strömungsmechanisch sinnvollen Lösungen. So kann es passieren, dass – trotz reiflicher Überlegung – Ihr gewünschter bzw. erwarteter Betriebspunkt in Ihrer Maschine / Anlage nicht erreicht wird. Eine mögliche Ursache könnte drallbehaftete Strömung sein, da das Fluid trotz gleicher Rohrlänge innerhalb des Rohres einen längeren Weg zurücklegen muss. Dies führt zu einem höheren Anlagenwiderstand / Druckverlust. Andere mögliche Ursache: In einer komplexen Anlage können die Verlustbeiwerteζ (griech.: zeta), z.B. für Automobile = Verlustbeiwert cW ∙ projizierte Fläche A der einzelnen Bauteile mitunter nicht einfach aufaddiert werden. Bauteile beeinflussen sich gegenseitigprinzipiell: je geringer die Entfernung, desto größer der Einfluss (nicht nur stromabwärts) und somit auch den Anlagenwiderstand. Mit unserer Erfahrung sind diese Herausforderungen – und alle weiteren – schnell und unkompliziert gemeistert.

Nachfolgend möchten wir Ihnen einige Basics näherbringen, ohne in die Welt der Differentiale und Integrale einzutauchen. Jeder Strömungsmechaniker bzw. Simulationsingenieur sollte Ihnen diese (wenn schon nicht herleiten dann zumindest) problemlos erklären bzw. deren Zusammenhänge aufzeigen können. Wir möchten betonen, dass diese Übersicht keinen Anspruch auf Vollständigkeit erhebt.

Kontinuitätssatz / Massenerhaltung

Stellen Sie sich vor, wie gleiche Fahrzeuge in gleichen, konstanten Abständen durch einen Tunnel fahren. Gleiche Fahrzeuge besitzen gleiche Massen und auch Volumen. Gleiche Massen in konstanten Abständen kann auch als konstante Dichte interpretiert werden.

Kontinuitätssatz

Der Kontinuitätssatz besagt, dass der Massenstrom(Fahrzeug)Massen pro Zeiteinheit ṁ = Q∙ρMassenstrom = Volumenstrom∙Dichte über ein Kontrollvolumen Z.B. besagter Tunnel konstant ist. Anders ausgedrückt: Die Masse, die hinein geht, kommt (zeitgleich) auch wieder heraus. Für unser Beispiel und für den Fall inkompressiblerWasser wird selbt in 4000 m Tiefe (d.h. 400  bar Druck) nur ca. 2 % komprimiert Fluide ist die Dichte konstant. Der Kontinuitätssatz vereinfacht sich somit hin zu konstantem Volumenstrom Q = v∙AVolumenstrom = (mittlere) Geschwindigkeit∙(Querschnitts)Fläche. Die Querschnittsfläche A wäre in unserem Beispiel gleich der Anzahl an Fahrspuren.

Stellen Sie sich weiter vor, der Tunnel wäre zweispurig und aufgrund einer Baustelle in der Mitte nur einspurig. In Fluidströmungen passiert nun etwas, das in der Verkehrswelt undenkbar ist. Statt beim Einfädeln abzubremsen (und dadurch einen Stau zu verursachen), beschleunigen die Fluidteilchen (analog der nebenstehenden Abbildung). Ihre Geschwindigkeit ändert sich umgekehrt proportional zum Querschnitt. In unserem Fall verdoppelt sich ihre Geschwindigkeit, da sich die Anzahl an Fahrspuren halbiert.

Satz von Bernoulli

Der Satz von BernoulliSchweizer Mathematiker / Physiker, 1700-1782 besagt, dass die Gesamtenergie eines Fluidteilchens entlang eines Stromfadensz. B. Fahrspur im Tunnel konstant ist. In Druck-SchreibweiseDurch Umstellen ist auch die Energie- und Höhen-Schreibweise möglich lautet dieser: ptot = pstat + pdyn + pgeo = konstant . Der Totaldruck ist gleich der Summe aus statischem, dynamischem und geodätischem Druck und ändert sich entlang des Stromfadens nicht.

Hydrostatisches Paradoxon

pgeo = ρ∙g∙HDichte∙(Erd)Beschleunigung∙Höhe ist primär von H abhängig und wird oft mittels der Wassersäule (WS1 mbar = 10 mmWS = 100 Pa) umschrieben. Es somit leicht verständlich, dass der Druck beim Tauchen steigtpro 10 m um ca. 1 bar oder dass Flugzeuge Druckkabinen benötigen, da der Druck mit der Höhe sinktpro 5.000 m auf ca. die Hälfte.

pdyn = ρ / 2∙v² resultiert aus der Strömungsgeschwindigkeit und lässt sich leicht selbst erfahren, wenn man die eigene Hand anpustet oder diese beim Autofahren aus dem Fenster hält. In diesem Fall wird der dynamische Druck in eine Kraft umgewandelt, die Ihre Hand weg drückt.

pstat ist der Umgebungsdruck, auf der Erde − um uns herum − entspricht er dem Atmospährendruck. Das sind immerhin ± 1.013 hPa = 101.300 Pa = 101.300 N / m² ≈ 10,3 Tonnen / m² . Wir stehen somit − ohne das jemand auf uns einwirkt − ganz schön unter Druck. Da der Druck in unseren Körpern jedoch gleich hoch ist, merken wir davon nichts. Veranschaulichen können Sie sich den statischen Druck, wenn Sie aus einer leeren PET-Flasche die Luft heraussaugen. Damit senken Sie den Druck im Inneren ab und sehen, wie die Flasche "von Zauberhand" durch den größeren Außendruck zusammengedrückt wird.

Bernoulli´s Satz zeigt auch anschaulich, dass der Druck nicht von der Fluidmenge abhängt. Dies ist als "Hydrostatisches Paradoxon" (siehe nebenstehende Abbildung) bekannt. Der Druck entlang der rot eingezeichneten Linie ist in diesem offenen Behälter konstant.

Impulssatz /-erhaltung

Schon NewtonEnglischer Universalgelehrter, 1643-1727 hat in seinem 1. Axiom festgehalten, dass sich ein kräftefreierVerluste, Reibung werden vernachlässigt Körper mit gleichbleibender Geschwindigkeit und Richtung fortbewegt. Die Geschwindigkeit kann hier auch null betragen, was einem ruhenden Körper entspricht. Anders ausgedrückt: I = m∙vImpuls = Masse∙Geschwindigkeit = konstant. Es ist zu sehen, dass sich der Impuls mit der Geschwindigkeit ändert. Geschwindigkeitsänderungen (pro Zeiteinheit) werden durch Beschleunigen oder Bremsen ( = negatives Beschleunigen) bewirkt. Der Impuls ändert sich jedoch auch mit der Masse. Dies klingt zunächst paradox, da Massen normalerweise konstant sind. Das liegt an dem Umstand, dass wir dazu tendieren, die LagrangeItalienischer Mathematiker, 1736-1813 Betrachtungsweise zu nutzen. Diese ist objektbezogen, d.h. man ist ein mitbewegterWir sitzen im fahrenden Fahrzeug (= Masseteilchen) Beobachter. Im Gegenzug ist die EulerSchweizer Mathematiker, 1707-1783 Betrachtungsweise ortsbezogen, d.h. man ist ein außenstehenderWir stehen am Straßenrand und sehen Fahrzeuge vorbeifahren Beobachter.

Impulsänderungen resultieren in einer Kraftwirkung auf den Körper. Daraus folgt das 2. Axiom und je nach Betrachtungsweise: F = m∙aKraft = Masse∙Beschleunigung bzw. ṁ∙v .

Strömungsmaschinen


Geschwindigkeitsdreiecke
Geschwindigkeitsdreiecke

Der Impulssatz kann für den Fall der Bewegung auf einer gekrümmten Bahn mittels des Ortsvektors r (= Radius zum Drehzentrum) adaptiert werden. Daraus folgt der Drehimpulssatzauch Drall- oder Momentensatz: D = r x I = m∙(r x v) . Da nur der senkrecht auf dem Radius stehende Teil des Geschwindigkeitsvektors (= vUvU = v∙cos α || uu = r∙ω = r∙2π∙n) zur "Hebelwirkung" beiträgt, lautet der Drehimpuls vereinfacht: D = m∙r∙vU . Die zeitliche Ableitung des Drehimpulses entspricht dem Drehmoment: M = ṁ∙r∙vU . Nach Einsetzen und Umstellen erhält man die Leistung: P = M∙ωMechanische Leistung = Drehmoment∙Drehwinkelgeschwindigkeit = ṁ∙Δ(u∙vU) = Q∙ΔpHydraulische Leistung = Volumenstrom∙Druckdifferenz . Da hier eine ideale Maschine betrachtet wird, sind die Leistungen gleich groß, d.h. der Wirkungsgradη (griech.: eta) beträgt 100 %.

Laufräderauch Rotoren werden oftmals mithilfe sogenannter Geschwindigkeitsdreieckesiehe nebenstehende Bilder am Beipiel vorwärtsgekrümmter Schaufeln berechnet bzw. ausgelegt. Über v = u + w sind die Absolut- = Umfangs- + Relativgeschwindigkeit vektoriell verknüpft. α bezeichnet den Absolut- und β den Relativwinkel (= Schaufelwinkel). Die Indizes 1, 2 beziehen sich auf den Eintritt, Austritt des Schaufelkanals. Mittels der geometrischen Beziehung (Cosinus-Satzw² = u² + v² − 2∙u∙v∙cos α) und etwas Umstellen / Einsetzen lässt sich die Strömungsmaschinen-Hauptgleichung (SMHG) nach Euler herleiten: (u² + v² − w²) / 2 = u∙vU . Der linke Term entspricht der zweiten und der rechte Term der ersten (üblicheren) Form der SMHG.

Integriert über das Laufrad ergibt sich: YSpezifische Schaufel- bzw. Stutzenarbeit = P / ṁ = u2∙v2u − u1∙v1u . Sie erkennen den direkten Zusammenhang zum abgeleiteten Drehimpulssatz. Falls die Zuströmung drallfreid.h. v1U = 0 ist, wird Y maximal. In realen Maschinen werden die integralen Größen (M, ω bzw. n, Q, Δp) gemessen und über den Quotienten beider LeistungenPmech / Phydr für Kraftmaschinen, Phydr / Pmech für Arbeitsmaschinen der Wirkungsgrad ermittelt. Welche Strömungsmaschinen Bauart für den jeweiligen Anwendungsfall verwendet werden sollte (hoher Wirkungsgrad), kann mithilfe des CordierDeutscher Ingenieur Diagramms ermittelt werden.

Numerische Grundlagen

CAD-Modell → CFD-Modell

CAD-to-CFD

Um Strömungssimulationen durchführen zu können, ist es notwendig ein Fluidvolumen auf Basis des CAD-Modells abzuleiten. Für den Fall eines Ventilators, bei dem die Durchströmung relevant ist, werden alle „im Inneren liegenden“ Flächen zwischen Einlass und Auslass verwendet. Da im CAD-Modell keine Ein-/ Auslassflächen vorhanden sind, sind diese entsprechend zu modellieren (z.B. der Einlass mittels Hemispähre). Kleine Spalte (z.B. um die Welle herum) müssen geschlossen werden, damit das Modell „dicht“ ist. Somit entsteht ein geschlossenes Volumen, das eigentliche CFD-Modell. Für das Beispiel des Ventilators, muss das CFD-Modell noch unterteiltin sogenannte Regionen bzw. Domänen werden, da dieses aus rotierenden und fest stehenden Bereichen besteht. Für Parameterstudien, sehr große Modelle oder um Symmetrien auszunutzen, ist das CFD-Modell ebenfalls (sinnvoll) zu segmentieren. Dadurch sinkt unterm Strich der Zeitaufwand bzgl. der VernetzungRäumliche Diskretisierung. Durch entsprechende Sorgfalt an dieser Stelle können unnötige Kopfschmerzen im nachfolgenden Schritt vermieden werden.

Numerisches Gitter (Räumliche Diskretisierung)

Numerisches Gitter

Das numerische Gitter entsteht in dem das Fluidvolumen in viele kleine Kontrollvolumen (bis zu mehrere Millionen) unterteilt wird. Für jedes dieser Kontrollvolumen werden während der Berechnung die Massen-, Impuls- und (bei Bedarf) Energieerhaltungsgleichungen iterativ gelöst. Heutzutage werden numerische Gitter mittels Tetra-, Prismen-, Hexa-, oder Polyeder-Zellen generiert. Obwohl die (halb)automatischen Vernetzer in den letzten Jahren immer leistungsfähiger geworden sind, sind deren Ergebnisse immer (im Detail) kritisch zu betrachten. Nach wie vor sind es die Vorgaben / Einstellungen des erfahrenen Anwenders, die zu qualitativ hochwertigen Gittern führen. Die Gitterqualität kann mittels geeigneter Kontrollgrößen überprüft werden, z. B. Kantenlängenverhältnisseengl.: Aspect Ratio, Größenänderungenengl.: Volume Change von / zu oder (kleinste) Winkelengl.: Orthogonal Angle innerhalb der Zellen.

Um wandnahe Strömungen berechnen (und nicht nur modellieren) zu können, ist eine entsprechende, wandnahe Gitterauflösung notwendig. Die Güte dieser sogenannten Grenzschichtauflösung wird mittels des dimensionslosen Wandabstandes y+ beschrieben. In welcher Größenordnung sich der y+ Wert bewegen sollte, richtet sich nach der verwendeten Turbulenzmodellierung. Für die standardmäßig in der Industrie verwendeten SSTengl.: Shear Stress Transport- bzw. realizable-k-ε-Modelle sollte der Wert unter zwei liegen. Logischerweise ist für unterschiedliche Betriebspunkte (Strömungsgeschwindigkeiten) auch der y+ Wert (trotz identischem Gitter) verschieden. Die nebenstehende Abbildung zeigt den Schnitt durch ein typisches numerisches Gitter (Tetraeder inkl. Prismen-Grenzschicht, Laufraddurchmesser 90 mm).

Für Struktursimulationen wird „lediglich“ das eigentliche CAD-Modell vernetzt. Ein Punkt, weshalb der Aufwand gegenüber Strömungssimulationen deutlich geringer ist. Auch bedarf es hier keiner wandnahen Auflösung oder Turbulenzmodellierung.

Stationäre und transiente Berechnungen (Simulationen)

Für industrielle Anwendungen sollten (nach Möglichkeit) stets stationärezeitlich unabhängige Berechnungen genutzt werden. Hintergrund ist, dass transientezeitlich abhängige Berechnungen (im Schnitt) 20 malURANS vs. RANS länger dauern, ohne signifikante Mehrinformationen zu generieren. Für den Fall einer Pumpen oder Ventilator Berechnung ist es i. d. R. nicht relevant zu wissen, wie sich der Druckaufbau mit jeder Millisekunde ändert (nebenstehendes Beispiel). Wenn diese Maschine experimentell untersucht wird, erhalten Sie am Ende i. d. R. auch nur einen (mittleren) Wert für Druckaufbau, Antriebsleistung und Wirkungsgrad.

Bei stationär berechneten, rotierenden Maschinen werden die Schaufelkräfte über die CoriolisFranzösischer Physiker, 1792-1843-Kräfte modelliert. Dies ist notwendig, da das Laufrad hier nicht rotiert. Wenn die Schaufelanzahl hoch genugWie hoch hängt vom jeweiligen Fall ab ist, stellt dies auch kein Problem dar. Anders verhält es sich jedoch, wenn die Schaufelanzahl zu niedrig ist. Im Extremfall einer Abwasserpumpe mit nur einem SchaufelkanalDies minimiert das Verblockungsrisiko sind die Berechnungsergebnisse sehr stark von der Laufradposition abhängig. In solchen Fällen müssen Sie wohl transient berechnen. Oder Sie versuchen folgenden „Trick“: Sie berechnen mehrere Laufradpositionen stationär und mitteln diese Ergebnisse anschließend. Oftmals erhalten Sie dadurch die gewünschten Informationen und sparen im Vergleich zu transienten Berechnungen nach wie vor Zeit.

Transiente Berechnungen sind daher eher im Bereich der Forschung zu finden, wenn z. B. der Einfluss zeitlich begrenzter Phänomene untersucht werden soll. Hier werden auch deutlich aufwendigere Turbulenzmodellierungen (z. B. LESengl.: Large Eddy Simulation, DESengl.: Detached Eddy Simulation, DNSengl.: Direct Numerical Simulation) verwendet, was den Zeitbedarf nochmals deutlich erhöht. Instationäre EffekteInstabilitäten,
z. B. hohe Druckschwankungen
bei stationären Berechnungen lassen sich bereits während der Berechnung auf Basis der Residuen und geeigneter Monitore feststellen. Falls (unerwünschte) instationäre Effekte bei Ihrem Produkt auftreten, sollte die Ursache hierfür ermittelt und z. B. mit einer Geometrieanpassung entgegen gesteuert werden.

„Besondere“ Berechnungen

Bei „normalen“ Berechnungen ist das gesamte CFD-Modell mit lediglich einem Fluid (z.B. Luft oder Wasser) gefüllt. VOFengl.: Volume of Fluids Berechnungen ermöglichen die Verwendung mehrerer Fluide innerhalb eines CFD-Modells. So lässt sich z.B. das Einströmverhalten von Wasser in einen mit Luft gefüllten Raum berechnen (nebenstehendes Beispiel). Mittels VOF lässt sich ebenfalls das Verhalten von Festkörpernengl.: Solids innerhalb von Fluiden berechnen. Eine Anwendung wäre z.B. das Verhalten eines Schiffes auf dem Meer zu berechnen (zwei Fluide, ein Solid). Es versteht sich von selbst, dass VOF Berechnungen immer instationär sind.

Bei der FSIFluid Struktur Interaktion werden Strömungs- und Struktursimulationen gekoppelt und die Wechselwirkung zwischen Fluiden und Solids berechnet. Dies bedeutet, dass z.B. die aus der Strömung resultierenden Kräfte auf das FEMFinite Elemente Methode-Modell übertragen werden. Mittels dieser Kräfte wird die Spannungsverteilung innerhalb und die Verformung des Bauteils berechnet. Die berechnete Verformung (Geometrieänderung) wird in das CFD-Modell zurückgeführt und die Strömung darauf basierend neu berechnet.